勉強中に思い付いたことのメモ:数論?と四則演算とMKSA単位系

広告




目次

勉強中に思い付いたことのメモ:数論?と四則演算とMKSA単位系

注意散漫タイプだからこそ…

私は基本的に注意散漫タイプの人間です。

本を読んでいるときも活字に集中している時間は非常に少ないです。

 

勉強中に色々思い付くので、紙のノートに書くか、Googleドキュメントにまとめたりしています。

今日の記事では、今日の勉強中に書いたメモの一端を抜粋して公開してみます。

 

本文(ほぼ原文ママ)

★「数」についての考え

まず「0と1とは何か」から考える

「有」と「無」

「有」を「1」、「無」を「0」としてみる。

「0という点」「1という点」をまず最初に決める。

まず「0と1」だけを考える。

実は、まずはじめに思い切って「0と1」を定義してしまえば、1以降の自然数も定義できる。というのも、「0から1までの間の長さ」を基準とすれば、1以降の自然数は定義できるからである。

たとえば、「2」という自然数は、「0から1までの間の長さを、2回分繰り返したもの」である。
「1245428735」という自然数は、「0から1までの間の長さを、1245428735回繰り返したもの」である。

自然数は、どれだけ大きな数であっても「0から1までの間の長さ」を基準にすれば表現できるということになる。

マイナスとは「方向」のことである。「0から1まで進むときの向き」を「正の方向」とすると、「0から−1まで進むときの向き」のことを、「負の方向」と呼ぶ。

掛け算は、「足し算の延長線上」「足し算をするのは面倒なときのショートカット」であると考えればよい。

小数は…「0から1までの間に詰まっている数」のことである。「6.35」という数は、自然数の「6」という部分と、小数である「0.35」という部分とに分解できる。

ここで、自然数「6」は、つい先ほど考えた通り「0から1までの間の長さを、6回繰り返したところにある点のこと」である。
そして、小数「0.35」は「0から1までの間にぎっしりと詰まっている点のうち、0.01(1×10^−2)を35回繰り返したところにある点」である。

つまり、「6.35」とは「0から1までの間の長さを、6回繰り返したところにある点」と「0から1までの間にぎっしりと詰まっている点のうち、0.01(1×10^−2)を35回繰り返したところにある点」を合わせた数のことなのである。

ちなみに、人類はとりあえず「10進法」を採用している。

10進法とは、「0〜9」まで数えてきて、9の次に来る数のことを「10」という数(ひとつケタを増やす)で表すのである。

ちなみに、2進法であれば「0〜1まで数えてきて、1の次に来る自然数のことを、10と表す」ことになっている。また、8進法であれば「0〜7まで数えてきて、7の次に来る自然数のことを、10と表す」ことになっている。
(ここでもやはり0と1が基準になっている)

たまたま人類の手の指の本数が10本だったので、10を基準としたのだろう。

◯割り算は?
・小数やら負の数やら自然数やらってそもそもどのように決めることができるのか?;「0という点と1という点をいちばんはじめに定義したうえで、その0と1との関係を応用して負の数や自然数や小数を導き出す」という感じ。要は点の集合。

四則演算の関係;掛け算は足し算の延長。

足し算の基礎になっているのは上の例でいう「0から1までの間の距離を何回繰り返すか」である。「2+3」は「0から1までの間の距離を2回繰り返したところにある点」と「0から1までの間の距離を3回繰り返したところにある点」を合わせたもの。空間的認知を使って説明すれば、足し算はベクトル+ベクトルである。

まず最初に足し算(0と1を基礎とする体系)があった。
掛け算は足し算の延長。
引き算は足し算の延長。
じゃあ、掛け算は…引き算の延長。
(結局、足し算の延長の延長だから、やっぱり四則演算は0と1からなる系のなかにあるものだといえる)

★人類の認知の特徴としては「3次元空間っぽく見える空間の中で生きている」ので、数学の概念の中に空間的、つまり身体的な感覚を伴うものが混ざってくる。物理空間は情報空間の写像であり、情報空間は物理空間よりも抽象度が一つ高い。数学は情報空間でやるものであるが、人間の臨場感がコミットしているのはどうしても物理空間である。情報空間に臨場感を移せる人は、抽象的な概念を理解することができる、つまりIQが高いとか頭がいいとか言われる人である(苫米地先生談)

★まずいちばん始めに「0と1」を定義しないことには、足し算も掛け算も引き算も割り算も始まらない!!

★「神は自然数を作った、あとは人間が考えた」と数学者が言っていた。しかし、どちらかというと、0と1を作ったと考える方が筋が通っているのではないか? それとも、たまたま歴史上自然数が先に発見されて、その後に「何もないという数」を想定したのか?

どちらでもいいのかもしれない。

やはり見通しが良いのは、「0と1」をまず想定することである。量子力学では「0と1が重なり合った状態、0でありながら1でもある状態」を考える。釈迦の発見である「縁起・空」も、「0と1」を基礎にしている? なぜなら、「すべてのものは関係性で成り立っている」「すべてのものはある(1)ともいえるし、ない(0)ともいえる」「この世に絶対的な真理は、つまりアプリオリな真理は存在しない → 完全に0(偽)である命題も、完全に真(1)である命題も存在しない」。数学の点もそうである。「点は面積がない」はずなのに、なぜかあると想定できる。つまり、0なはずなのに同時に1でもある。

チューリングマシンで数学は取り扱える、0と1があれば数学はできる。コンピュータ科学では「1=真」「0=偽」とする。自然はだいたい2分法である。男と女、有と無、死と生…

やっぱり、0と1から始めるのが良い。それがいい。

★図形についての考え

・空間とはどんなものと考えればよいか?
→平面+もう1次元。つまり、タテ・ヨコ=平面プラス、高さ。

・とりあえず、まずは「数直線」を想定する。そして、「互いに直交する2本の数直線で表される面」を考える。次に、「その平面にさらに直交する線」を考える。すると、空間にある一点を3次元座標で表せるようになる

・空間の歪みとかの問題も一応あるけれど、無視してよいとする

・平面の幾何学から考える

・ニュートン力学が下敷きにしているのはユークリッド幾何学?
・ユークリッド幾何学の公理

・直線とは?
→点の集合?

・円とは?
→ある点からの距離が一定の点の集合である

∀x{ |p(x)}
s.t.
そうか、集合論もやっぱり「点」っぽく考えてるんだ。

✳︎集合ということは、論理が入ってくる
→論理についても同じアプローチで行けそうだな。個人的に臨場感高めるトレーニングの量を増やしていけば臨場感は高まるし、高まった臨場感を活かせば効率的にそして圧倒的に物理や数学をインプットしていける。そうか、天才と呼ばれるひとはそこでとっかかりを得たんだな。

★物理についての考え

そもそも「定義」とは何か?

「◯◯とは?」を繰り返していくと、そのうち
「これ以上行くと、言葉では言い表せない領域に入ってしまう!」
「もうこれ以上は言葉では表しようがない…どこかで諦めなきゃ」
というラインに突き当たるわけである。

しかし、その「どこで諦めるか」はなるべく人類全体で統一しておく必要がある。

この「どこで諦めるかというラインを、人類全体の共通認識として統一しておく」ことを、「定義」と呼ぶ。

その諦めどころを統一しておかないと、世界中でいろいろと望ましくない事態が起こるだろう。

たとえばメートルという単位が、あるA国では「1 秒の 299 792 458 分の1の時間(つまり、2億9979万2458分の1秒)に光が真空中を伝わる行程の長さ」とかなり厳密に定義されていて、B国で「1メートルは、ウチの国の王様の歩幅と同じ長さです」という感じで、かなりラフに定義されていたりすると…とんでもないことになる。

両国の間で「1メートルの長さ」が違うのは困るわけだ。

もしも、A国からB国に「長さきっかり1メートルの鉄パイプを送ってくれ! こっちでは、きっかり1メートルの鉄パイプしかはまらないような設計にしてあるから!」と頼んだ時に、注文通りではないもの、はまらない鉄パイプが送られてくることになる。これは困ったことである。

こういう事態を避けるためにも、

「完全に普遍・不変ではないけれども、まだ誤差が許容できる範囲の、なるべく世界各地で同じように通用する、できるだけ正確な単位のとり方」

を決めておく必要があったのである。

<MKS単位系>
・「長さ」の単位:1M…1メートル。Mはmetreの頭文字。1メートルは、「1 秒の 299 792 458 分の1の時間(つまり、2億9979万2458分の1秒)に光が真空中を伝わる行程の長さ」という定義を与えられている。
・「質量」の単位;1K…1キログラム。Kはkilogramの頭文字。1キログラムは、「国際キログラム原器の質量に等しい質量の単位」という定義を与えられている。
・「時間」の単位;1S…1秒。Sはsecondの頭文字。1秒は、「セシウム133の原子の基底状態の2つの超微細準位の間の遷移に対応する放射の91億9263万1770周期の継続時間である」という定義を与えられている。

「ああ、セシウム云々とか厳密な定義の意味まではイメージできないんだけど、長さと質量と時間だけは頑張って定義したってことなんですね」


では、この<メートル・キログラム・秒>以外の単位はどう表現するのか?

答えは簡単で、「メートル・キログラム・秒という3つの基本単位を、頑張って組み合わせて表す」のである。

例えば、MKS単位系には入っていない「速度」はどう表すか?

まず、「速度」とは、長さを時間で割ったもの(=一定の時間あたりに進む長さ) である。

ということは、速度の単位は「長さ ÷ 時間」、つまり「メートル ÷ 秒」=「m / s」で表せる(念のため説明しておくと、「/」(スラッシュ)は「÷」という意味だ)。

では、教科書には「単位時間に速度が変化する割合」と紹介されている「加速度」はどう表すか?

まず、直前で説明したように、速度は「長さ ÷ 時間」であるから、「m / s」である。

加速度は「単位時間に速度が変化する割合」。

ここで、「単位時間」とは要するに、MKS単位系のうちの「1S=1秒」を指しているので、加速度とは「1秒あたりに、速度(=m / s)が、どれだけ変化するか」である。ということは、加速度は「『m / s』 / 1s 」と考えればよい。これをまとめると、加速度は「m / s / s」、つまり「m / s^2」という単位で表現できることになる(sかけるsのことを、「s^2」と表す。sかけるsかけるsなら「s^3」である)。

これまでの経験上、「加速度がよくわからない。速度とか距離とかはイメージできるんだけど、加速度になると急にわからなくなる…」という人に多いのは、

「秒の2乗って何!? 時間の2乗ってことでしょ!? まったくイメージできないんだけど!!」

と思っているパターンだろう。

しかし、実は「時間の2乗」なんてイメージできなくてもいいのである。数学や物理学が素晴らしくできる人であっても、多分イメージできていない。せいぜい「1秒あたりにどれくらい速度が変わるか」という程度のイメージだろう。

「MKS単位系という道具を使って、頑張って加速度という概念を表現しようとしたら、結果的になんか『sの2乗』『時間の2乗』が出てきた」というだけのことなのである。


そのほかの例も考えてみると…たとえば、教科書には「力の単位である」と紹介されている「N」はどう表すか?

いちおう定義をみてみると、

「質量1 kgの物体に、1 m毎秒毎秒の加速度を生じさせる力を意味する」

とのことである。

「公理」という言葉に、どこか威圧的な響きがあるのではないかと思う。

公理とは、
「これ自体が絶対的に正しいかどうかの議論はひとまず置いといて、とりあえずこれは正しいものとして扱ってくれ!」
という、議論の前提となる条件のことを指す。

本当に正しいかどうかはさておいて、とりあえず使ってみてくれ…という部分がミソである。

とりあえず使ってみた結果、自然界で起きているいろいろな現象を上手に説明できるのだとしたらもうけものだろう。

ニュートン力学は、以下の3つを「公理」としている。

・よし、みんな、いっぺん騙されたと思って、「作用・反作用の法則」というものが成り立つとしてみてくれ!
・よし、みんな、いっぺん騙されたと思って、「F=ma という式」が成り立つとしてみてくれ!
・よし、みんな、いっぺん騙されたと思って、「慣性の法則」というものが成り立つとしてみてくれ!

F=maという公式の意味は、「質量m(単位は m kg)の物体に、加速度a(単位はm / s^2)を生じさせる作用を持つもののことを、力[単位は]と定義する」である。

F[N] = m[kg] × a [m / s^2]

ここで、両辺の単位だけを取り出すと

1N = 1kg × 1m / 1s^2

1をいちいち書くのは面倒なので、省略してしまう。
すると、

1N = 1kg・m / s^2

「kg・m / s^2」というのは結果的に出てきたものであって、いくら物理が得意な人であっても「キログラムにメートルをかけて、それを秒の二乗で割ったものをイメー
ジできる」わけではないことに注意!

繰り返すが、「kg・m /s^2」というのは結果的に出てくるものにすぎないのである。「kg・m /s^2」の意味がイメージできないのは、あなたの物理的才能が乏しいからではない。

肝心なのは、運動方程式の本質である「質量のある物体に力を加えると、加速度が変化する」という考え方そのものなのだ。

要するに、人間が頑張って定義を与えた3つの基本的な単位を、パズルのように組み立てることによって、あらゆる物理量(物理量とは、数字+単位で表される量である)を表現していくのである。

*3つの単位で定義されるMKS単位系を含んだ)7つの単位を持つ国際単位系=SIを使って表されるもろもろの単位のことを、「SI組立単位」と呼んでいる。

✳︎MKS単位系ではなくMKSA単位系と呼ぶときは
・「電流」の単位;1A…1アンペア。Aはampereの頭文字。「真空中に1メートルの間隔で平行に置かれた、無限に小さい円形断面積を有する無限に長い2本の直線状導体のそれぞれを流れ、これらの導体の長さ1メートルごとに力の大きさが1000万分の2ニュートンの力を及ぼし合う不変の電流」と定義されている。

✳︎MKS単位系では3つの単位(メートル・キログラム・秒)をまず最初に定め、MKSA単位系ではその3つの単位にアンペアを加えるということである。

✳︎さらに、MKSA単位系に「熱力学温度を表すケルビンという単位」「物質量を表すモルという単位」「光度を表すカンデラという単位」という3つの単位を加えて、7つの基本単位を定めたものを、SI=国際単位系と呼んでいる。このSIが、現在国際的に使われている標準的な単位系である

✳︎野球の動作解析に使う程度の力学(古典力学、ニュートン力学)であれば、基本的にMKS単位系だけで事足りる。

★注意点…この世に絶対的に不変・普遍なものは存在しない。三角形は、厳密な定義通りの形では物理空間には存在しない。物理空間にどれだけ厳密な三角形を作ろうとしても、かならず誤差が入る。厳密な三角形という概念は、人間の頭の中にしか存在しないのである
(本当の意味で厳密な三角形は、物理空間ではなく、抽象化された情報空間にしか存在しない)

 

苫米地英人コレクション6 「生」と「死」の取扱説明書

苫米地英人コレクション6 「生」と「死」の取扱説明書

苫米地英人
1,296円(11/20 23:53時点)
発売日: 2018/10/30
Amazonの情報を掲載しています
百年後の日本人

百年後の日本人

苫米地英人
1,404円(11/21 13:39時点)
発売日: 2018/09/13
Amazonの情報を掲載しています

好評発売中です!

ホームラン量産マニュアル日本の若者は常識洗脳されている音読でバカが天才になる

広告

スポンサーリンク
スポンサーリンク